El calculo de funciones analíticas, conocido tradicionalmente como teoría de funciones de una variable compleja, es el rama de matemáticas que trata de resolver las funciones de números complejos. Es útil en muchos ramas de las matemáticas, incluyendo teoría del número y matemáticas aplicadas, y en la física.
El análisis complejo se refiere particularmente a funciones analíticas de las variables complejas, que se dividen comúnmente en dos clases principales: funciones holomorfas y funciones meromorfas. Porque la parte real o imaginaria de cualquier función analítica deben satisfacer la Ecuación de Laplace, el análisis complejo es extensamente aplicable a los problemas de dos dimensiones dentro de la física.
El análisis complejo es uno de los ramas clásicos en matemáticas con sus raíces en el siglo XIX. Los nombres importantes son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente en el análisis complejo y particularmente la teoría de mappings conformales, tiene muchos usos físicos y también se utiliza a través de análisis de la teoría de números. En épocas modernas, llegó a ser muy popular con una nueva alza de dinámica compleja. Otro uso importante del análisis complejo está hoy dentro de la teoría de la continuidad y la invariante teoría del campo del quántum.
Funciones complejas
Una función compleja es una función en la cual variable independiente y variable dependiente son ambos números complejos. Más exacto, una función compleja es una función que dominio Ω es a subconjunto de plano complejo y que gama está también un subconjunto del plano complejo.
Para cualquier función compleja, la variable dependiente y la variable independiente se pueden separar en real e imaginario:
y: donde y son las funciones valores reales.
Es decir los componentes de la función f(z), y puede ser interpretado como funciones valoradas verdaderas de las dos variables verdaderas, x y y.
Los conceptos básicos del análisis complejo son introducidos a menudo ampliando las funciones reales elementales (e.g., exponenciales, logaritmos, y funciones trigonométricas) en el dominio complejo.
Derivados y las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Apenas como en el análisis verdadero, “alise” la función compleja W = f(z) puede tener a derivado en un punto particular en su dominio Ω. De hecho, la definición del derivado es análogo al caso verdadero pero con una diferencia muy importante. En análisis verdadero, el límite puede ser acercado solamente moviéndose a lo largo de la línea unidimensional del número. En análisis complejo, el límite se puede acercar de cualquier dirección en el plano complejo de dos dimensiones.
(La demanda eso “en análisis verdadero, el límite puede ser acercado solamente moviéndose a lo largo de la línea unidimensional del número” no debe ser confundido con derivados direccionales. Puede ser explicado que en derivados direccionales, un alambique se mueve a lo largo del unidimensional x la línea pero él puede estar en unidades “discretas”; es decir, si uno sigue y = x2 curva, eso no significa que uno se está moviendo en el plano (en vez del unidimensional x línea) pero medios a que uno está acercando en pasos de unidades discretas.)
Si este límite, el derivado, existe para cada punto z en Ω, entonces f(z) reputa diferenciable en Ω. Puede ser demostrado que diferenciable f(z) es analítico. Esto es un resultado mucho más de gran alcance que el teorema análogo que se puede probar para las funciones valores reales de números enteros. En el cálculo de números enteros, podemos construir una función f(x) que tiene un primer derivado por todas partes, pero para cuál no existe el segundo derivado en unos o más puntos en el dominio de la función. Pero en el plano complejo, si una función f(z) es diferenciable en a vecindad debe también ser infinitamente diferenciable en esa vecindad.
Aplicando los métodos de cálculo del vector para computar derivados parciales de las dos funciones verdaderas u(x, y) y v(x, y) en cuál f(z) se puede descomponer, y considerando dos trayectorias el conducir a un punto z en Ω, puede ser demostrado que la existencia del derivado implica.
Comparando las partes verdaderas e imaginarias de estas dos expresiones obtenemos la formulación tradicional del Ecuaciones de Cauchy-Riemann:
o, en otra notación común,
Distinguiendo este sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales primero con respecto a x, y entonces con respecto a y, podemos demostrar fácilmente eso
o, en otra notación común,
Es decir las partes verdaderas e imaginarias de una función diferenciable de una variable compleja son funciones armónicas porque satisfacen Ecuación de Laplace.
Integral de funciones analíticas.
El integral alrededor de una trayectoria cerrada de una función que sea holomorphic por todas partes dentro del área limitada por la trayectoria cerrada es siempre cero; éste es Teorema del integral de Cauchy.
Los valores de una función holomorfa dentro de un disco se pueden computar por cierto integral de la trayectoria en el límite del disco (Fórmula integral de Cauchy). Los integrales de la trayectoria en el plano complejo son de uso frecuente determinar integrales verdaderos complicados, y aquí la teoría de residuos entre otros es útil (véase métodos de integración del contorno). Si una función tiene a poste o singularidad en un cierto punto, es decir, en ese punto sus valores “hacen saltar” y no tienen ningún valor finito, después uno puede computar el residuo de la función en ese poste, y estos residuos se pueden utilizar para computar los integrales de la trayectoria que implican la función; éste es el contenido del de gran alcance teorema del residuo. El comportamiento notable de funciones holomorfas cerca de singularidades esenciales es descrito por Teorema de Weierstrass-Casorati. Se llaman las funciones que tienen solamente postes pero ningunas singularidades esenciales meromorfas. Serie de Laurent sea similar a Serie de Taylor pero puede ser utilizado estudiar el comportamiento de funciones cerca de singularidades.
Una función limitada que es holomorphic en el plano complejo entero debe ser constante; esto es Teorema de Liouville. Puede ser utilizado para proporcionar una prueba natural y corta para teorema fundamental de la álgebra qué estados que campo de números complejos está algebraico cerrado.
Una característica importante de funciones holomorfas es ésa si una función es holomorfas a través de a conectado simplemente el dominio entonces sus valores es determinado completamente por sus valores en cualquier subdominio más pequeño. La función en el dominio más grande reputa continuado analíticamente de sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite la extensión de la definición de funciones tales como Función del zeta de Riemann cuáles se definen inicialmente en términos de sumas infinitas que casi converjan solamente en dominios limitados al plano complejo entero. A veces, como en el caso de logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfas a un dominio difícil conectado en el plano complejo pero es posible extenderlo a una función holomorfa en una superficie de cerca relacionada conocida como a Superficie de Riemann.
Todo el esto refiere a análisis complejo en una variable. Hay también una teoría muy rica de análisis complejo en más de una dimensión compleja donde las características analíticas tales como extensión de la serie de energía todavía siguen siendo verdades mientras que la mayor parte de las características geométricas de funciones holomorfas en una compleja dimensión. Riemann tras el teorema sobre la relación conforman de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante de la teoría unidimensional, falla dramáticamente en dimensiones más altas.
También se aplica en muchos temas a través de la ingeniería, particularmente en la ingeniería de la energía eléctrica.
